Forme intégrale du problème de Cauchy :

• soit \(J\subset I\)
• soit \(t_0\in J\)
• soit \(y:J\to{\Bbb R}^m\)
• \(\forall t\in J,y(t)\in U\)
• \(y\) est continue sur \(J\)
• $$\forall t\in J,\qquad y(t)=y_0+\int^t_{t_0}F(s,y(s))\,ds$$

$$\Huge\implies$$

• \((J,y)\) est solution du problème de Cauchy

\(y\) est continue et est point fixe de $$\phi:\begin{align}\text{fonction continue}&\longrightarrow\text{fonction continue}\\ (t\mapsto y(t))&\longmapsto (t\mapsto y_0+\int^t_{t_0} F(s,y(s))\,ds)\end{align}$$
\(\to\) on se ramène à un pb de recherche d'un point fixe : Théorème du point fixe de Banach-Picard